생일이 같은 친구가 있을 확률

생일이 같은 친구가 있을 확률은 한 반에서 도대체 얼마나 될까?

얼핏 생각하면 1년 365일 중 임의의 두 사람의 생일이 같을 확률은 1/365가 되고, 따라서 365명이 모여야 생일이 같은 사람이 있을 것이라고 생각하기 쉬운데 실제로 23명만 있어도 생일이 같은 두 사람이 있을 확률이 50%가 넘는다.

내 생일과 같은 어떤 특정한 날짜가 같은 경우가 아니고, 한 그룹에서 생일이 같은 친구가 있기만 하면 된다는 뜻이다.

바꾸어 말하면 적어도 두 학생의 생일이 일치하는가와 같은 문제이다.

적어도 적어도 적어도가 나왔다. 확률에서는 적어도가 나오면 여사건의 확률로 계산을 하면 편하다.

적어도 두 학생의 생일이 일치할 확률 = 1 - 모든 학생의 생일이 다른 확률이다.

예컨대 한 반의 학생 수가 60명이라고 생각하면

모든 학생이 생일이 다를 확률 + 두 학생이 생일이 같을 확률 + 세 학생이 생일이 같을 확률 + ........+60명이 생일이 같을 확률 = 1이다.

모든 학생이 생일이 다를 확률 + 적어도 두 학생의 생일이 일치할 확률 = 1이 된다.

따라서

적어도 두 학생의 생일이 일치할 확률 = 1 - 모든 학생의 생일이 다를 확률이 된다.

그럼 모든 학생의 생일이 다른 경우를 찾아보자.

1년 365일 중에 먼저 두 학생의 생일이 다를 확률은 두 번째 학생이 첫 번째 학생의 생일과 다르면 된다.

즉 두명의 학생이 생일이 다른 확률은  이다.

마찬가지로 세번째 학생이 앞의 두 학생과 생일이 다를 확률은 이다.

따라서 3명이 생일이 서로 다를 확률은 두명의 생일이 다를 확률 * 세번째 학생이 처음 두명과 다를 확률으므로

이 된다.

이렇게 60명의 학생을 계속하다보면 아래와 같은 결과가 나온다.

60명 중 적어도 두 학생의 생일이 같을 확률은 1-0.0059=0.9941.... 99%가 넘는다는 말이다.

요컨대 60명 중 생일이 같은 사람이 있을 확률은 1 - 60명 모두 생일이 다를 확률이다.
60명 모두 생일이 다를 확률은
첫번째사람은 365일 중 아무날이라도 상관없으니 365/365
두번째사람은 365일 중 첫사람의 생일 1일을  제외한 364일 중 아무날이므로 364/365가 되고
세번째사람은 365일 중 앞 두사람의 생일 2일을 제외한 363일 중 아무날이므로 363/365가 되고

.................

60번째 사람은 365일 중  앞사람들의 생일 59일을 제외한 306일 중 아무날이면 되므로 306/365가 된다.

생일이 같은 사람이 둘 이상 있을 확률은

(단 n은 365보다 작거나 같아야 된다.)

위에서 살펴본 생일역설(Birthday Paradox)이란 몇 명 이상 모이면 그 중에 생일이 같은 사람이 둘 이상 있을 확률이 충분히 높아지는것을 묻는 문제이다. 365명쯤이 모여야 생일이 같은 사람이 있을 것이라고 생각하기 쉽지만 실제는 10명만 모여도 약 12%, 23명만 모여도 확률은 50%가 넘고, 57명이 모이면 99%가 넘고, 100명이 모이면 확률은 100%에 가까워진다.

그렇다면 특정일로 지정한 내 생일과 완전히 일치하는 사람을 그룹에서 만날 확률은 얼마일까?

한 그룹에서 생일이 같은 사람이 존재할 확률은 무척 높았다. 하지만 내 생일과 같은 사람을 만나기는 쉽지 않다.

내 생일은 일 년 365일 중 하루이다.

따라서 특정한 날과 같은 생일을 만날 확률은 이다.

이렇게 한 그룹의 인원이 60명이라서 생각하면 이다.

60명의 그룹중에 임의의 날짜에 생일이 같을 확률은 약 99%지만 특정한 날짜에 생일이 같을 확률은 약 16%이다.

즉 어떤 특정한 날을 지정해 그 날이 생일인 사람을 만나는 경우는 낮다는 소리가 된다.

내 생일과 같은 어떤 특정한 날짜의 생일이 같은 경우와 생일이 같은 사람이 있는 경우는 분명히 다르다는 것을 알자.