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수학/수학공식

절대값 계산하기

by 디진다 2017. 2. 19.
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절대값문제 absolute value 풀이 부등호 계산, 绝对值, الحسابات الاجتماعية الرسمية لويكيبيديا العربية, Valor absoluto,Função modular, Абсолютная величина


위의 그림과 같이 양수인 +10과 음수인 -100 두 숫자가 있다.

기준이 되는 원점 0으로 부터 각 두점이 어디에 위치해 있다고 전달을 하면 될까?

-100은 원점에서 왼쪽으로 100만큼, +10은 원점으로부터 오른쪽으로 10만큼 떨어진 곳에 각각 위치해 있다고 전달하면 된다.

그럼 더 나아가서 앞에 '부호를 제외하고' 남아있는 숫자만 보자.

즉, 10과 100을 비교해보면 당연히 100>10이므로 -100이 +10보다 원점에서 훨씬 먼 곳에 있음을 알 수 있다.



이와같은 원점으로부터 어떤 놈이 대응하는 점까지의 거리를 어떤놈의 절대값이라고 하며,  l 어떤놈 l 과 같이 표현한다.

거리라는 개념이 중요한데, 부산에서 서울까지 거리가 얼먀냐? 우리집에서 학교까지 거리가 얼마냐?

네 거리는 마이너스 500Km와 마이너스 1km입니다라고 하지않는다.

네 거리가 마이너스 몇 Km 되는 걸로 알고 있습니다라고 말하면 미친 놈 소리를 듣는다.

즉 결코 절대로 네버 거리는 음의 값이 될 수가 없다.

절대값 역시 원점에서 어떤놈까지의 거리이므로 항상 항상 항상 양수의 값만을 가진다.

그럼 절대값이 항상 양의 값만을 취한다면

+10의 절대값인 l +10 ㅣ=10이되고, -100의 절대값은 양의 값이 되야하므로 그냥 앞에 마이너스를 없애버리면 되겠네라고 생각해도 좋다.

위와 같이 실제 수로 나타나면 (-)부호를 없애버리면 되지만 문자로 된 경우는 헤깔릴 수 있으니 (-)부호를 앞에 붙인다고 생각하자.

즉 -100의 절대값은 l -100 ㅣ = -(-100) = +100 = 100과 같이 마이너스를 하나 더 붙인다고 생각하자.

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<For example>

a>0일때 l  a  l 는 어떻게 될까?

a가 0보다 큰 양수래. 절대값안에 있는 놈이 양수면 절대값은 그대로 사망한다.

따라서 l  a  l = a 가된다.


그럼 b<0일때 l  b  l 는 어떻게 될까?

b가 0보다 작네 그럼 음수네 절대값안에 있는 놈이 음수면 절대값은 마이너스 하나를 주고 사망하니깐

l  b  l = - b가되는 것이다.

문제에서 b는 음수라고 했으니 음수에 (-)를 붙힌 -b는 양수이다.


절대로 절대로 문자앞에 마이너스가 붙어 있다고 해서 그 문자가 음수라고 생각하지 말자.



위에서 본 절대값을 일반화한다면 아래와 같다.

즉 절대값안의 값이 양의 값이면 그대로, 절대값안의 값이 음의값이면 마이너스 하나 달고 절대값은 사망한다.




<For example>

l a -1 l = 2 일때 a의 값을 구하여라.

(sol) 절대값( a -1)의 값은 2이다. 절대값의 값은 절대값을 없애버리면 항상 양수라고 했다. 우변의 2는 양수이다.

이프 만약에 문제가 l a -1 l = - 2라면 문제가 틀린 것이다.

절대로 절대값을 벗기면 그 값은 음수가 아니라 양의 값이 되어야 한다.

그럼 문제를 풀어보자.

우리는 절대값안에 있는 ( a -1)가 양수인지 음수인지 알수 있는 단서가 문제에서 제공되질 않았다.

이럴땐 절대값안이 양수일때와 음수일때로 구분해서 계산해야 된다.

먼저 a -1값이 양수라고 하면 즉 a -1>0이면 l a -1 l =  a -1이 된다.

따라서 a -1 =2 이므로 a=3

또한 a-1이 음수라고 가정하면 l a -1 l =  -(a -1)와 같이 절대값안의 값이 음수이므로 절대값은 마이너스를 하나 주고 사망한다.

-(a -1) = 2 이므로

따라서 a =-1이된다.

정리하면

a -1>0이면 a=3이고 a -1<0이면 a=-1이 되므로 l a -1 l = 2 를 만족하는 a의 값은 -1 또는 3이다.





<For example>

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(sol1) 위의 개념대로 한번 풀고 임의의 값을 넣어서 5초안에 풀어보겠다.

먼저 a가 음수라고한다.

그럼 l a l = -a가 된다.

문제를 다시 적으면 l  a - l a l  l = l  a - -a  l = l  2a  l 가 된다.

l  2a  l 는 마찬가지로 a가 음수이므로 2a값 역시 음수 따라서 절대값 안의 값은 음수이다.

l  2a  l = -2a가 된다.


(sol2) 조건을 만족하는 임의의 값을 넣어서 바로 계산해보자.

a가 음수라는 조건이 있다.

음수 아무 놈이라 생각해보자.

나는 음수인 -100을 a라고 생각하겠다.

그럼 문제에 집어넣자.

ㅣ-100 - ㅣ -100 ㅣㅣ이 문제를 풀면 된다.

ㅣ-100 - ㅣ -100 ㅣㅣ = ㅣ-100 - - (-100)ㅣ = ㅣ-100 - 100ㅣ= ㅣ-200ㅣ= 200이다.

a=-100이라고 가정했으므로 200= -2 * (-100) = -2a가 된다.




<For example>

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(sol)정석대로 풀면 절대값이 두개 이므로 두 구간으로 나누어서 계산해야 되지만

조건을 만족하는 값을 대입시키면 5초짜리 점수 드세요라는 문제이다.

a가 1과 4사이의 값이므로 아무값이나 생각해보자.

계산쉽게 2를 하던지 3을 선택하던지 2를 선택해보자.

a=2라고 가정하고 문제 풀면

ㅣa -1 ㅣ + ㅣa -3ㅣ= ㅣ2 -1 ㅣ + ㅣ2 -3ㅣ= ㅣ1 ㅣ + ㅣ-1ㅣ= 1 + - (-1) = 1 - (-1) = 2




이런 절대값에도 성질이 있다.

임의의 실수 a, b에 대하여

을 만족한다.


2번 절대값의 값은 루트 제곱의 값과 같다.

중요한 개념인데 루트 밖의 위에는 2라는 놈이 원래는 있다.

근데 생략하기로 약속하고 사실 루트 밖의 2는 안 적을 뿐이지 2는 항상 존재한다.

루트 밖에 숨은 2와 루트와 루트안의 제곱인 2가 절대값과 같은 존재이다.


2012/10/13 - [수학/수학공식] - 루트(근호) 풀이


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그리고 6,7번은 자주 사용하는 성질이다.


절대값이 어떤놈보다 작거나 같으면 어떤놈 사이에 찡긴다.

반대로 절대값이 어떤놈보다 크거나 같다면 작은놈보다 작고 큰놈보다 크게된다.


6번만 정리해보면


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위의 그림과 같이 절대값이 어떤놈보다 작거나같다면 혹은 작다면 어떤놈의 반경안에 포위되어 갇혀버리게 된다.




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