가우스소거법(행렬식)을 이용한 역행렬

가우스소거법으로 해를 구하는 방식만 알면 역행렬 구하는 법이 무언지 쉽게 알 수 있다.

위의 연립방정식의 차이가 무엇인지 알면 가우스소거법은 끝났다.

처음과 가운데 문제의 차이는 가운데 문제의 첫식이 2배가 되었다.

그리고 처음과 마지막 문제의 차이는 두 식의 자리를 바꾸었다는 점이다.

우리는 계산을 하기 위해서 0이 아닌 수를 곱하거나 나누거나 할 수 있다.

그리고 두 식의 순서를 바꾸어서 풀어도 된다.

그리고 두 식에서 계수를 같게 만들어서 한 미지수를 삭제해도 된다.

어떻게 풀던  답은 동일하게 나온다.

즉 가우스소거법의 가장 기본이 되는 법칙이 아래와 같다.

1. 행의 순서를 바꿀 수 있다.(단 통째로 바꾸어야 한다.단위행렬의 대각성분에 0이 없도록 하기 위해서)

2. 임의의 내 맘 꼴리는 행에 0이 아닌 임의의 수를 곱하거나 나누어도 상관없다.

3. 읨의의 내 맘 꼴리는 행에 0이 아닌 임의의 수를 곱하거나 나누어서 임의의 행에 더하거나 뺄 수 있다.

우리는 위와 같은 연립방정식을 행렬로 바꿀 수가 있다.

그리고 바꾼 행렬식을 단위행렬로 만들어 버린다면 바로 해를 구할 수 있다.

그럼 x=2, y=-1가 된다.

3행3열도 비슷하다.

예컨대

위와 같은 법칙으로 문제를 행렬로 나타내어 

행렬을 단위행렬로 만들어 주면 끝이다.

풀어보면 알단 행렬된 식들을 아래와 같이 x,y,z를 쌩까고 다시 만든다.

그리고 아래 그림과 같이 대각성분만 1로 만들고 나머지 자리들은 아래 순서대로 모두 0으로 만들어 버리면 끝이다.

시작해보자.

이 문제에서는 굳이 행의 자리를 변경안해도 되지만

1. 행의 순서를 바꿀 수 있다.(단 통째로 바꾸어야 한다.단위행렬의 대각성분에 0이 없도록 하기 위해서)

임을 보이기 위해 2행과 3행을 통째로 바꾸어 보자.

그럼 위의 그림대로 1행1열의 놈을 1로 만들고 2행1열의 자리에 있는 놈은 제일 선빵으로 0이 되어야 한다.

2행1열의 놈을 0으로 만들기 위해서 1행에 -1배해서 2행과 더하면 된다.

즉 1행에 -1배를 해버리면

-1 -1 -1 -1이다. 그리고 2행인

 1  1  -1  3 와 더하면

0 0 -2 2가 된다.  이 놈을 2행에 적는다.

즉

근데 2행2열의 성분이 0이다. 위에도 적었듯이 대각성분에는 0이 있으면 안된다.

따라서 2행과3행을 다시 바꾸자.

처음에도 적었듯이 굳이 바꿀 필요는 없는 문제인데 법칙들을 설명을 하기 위해 바꾸었다고 했다.

2행과 3행을 다시 바꾸어서 2행1열의 값을 0으로 만들기 위해 1행에 -2배해 2행과 더하면 되겠다.

여기서 대각성분에 있는 -3을 1로 먼저 만들어도 되지만 1로 만들기 위해서는

2행에 -1/3을 곱해야 한다. 근데 =1/3을 곱하면 0 1 1/3 2/3이 된다. 분수가 되어서 좀 귀찮다.

그래서 2행2열의 -3은 일단 무시하겠다.

그럼 위의 그림처럼 1,2,3번은 모두가 0이 되었다.

이제 거꾸로 가서 4,5,6번에 해당되는 놈들을 0으로 만들면 되겠다.

대각성분인 3행3열의 -2을 1로 만들기 위해서 3행에 -2로 나누면 0 0 1 -1이 된다.

4번에 해당되는 2행3열 성분인 -1을 0으로 만들기 위해서 3행과 2행을 더하면 된다.

그럼 각각의 해는

x=1 y=1 z=-1이 된다.

하나 더 해보면

이것만 알면 가우스소거법을 이용한 역행렬 구하기도 할 수 있다는 소리다.

가우스소거법에 의한 역행렬을 구할 때는 위의 조건 중 임의의 두 행을 바꿀 수 있다는 조건이 없어진다.

즉 가우스 소거법에서는 두 행을 바꾸어서는 안된다.

이 외는 위에 내용과 똑같다.

따로 적을려고 했는데 그냥 한번에 적겠다.

간단히 하기 위해 2*2행렬로 예를 들겠다. 3*3차 행렬도 방법은 똑같다.

자 그럼 가우스소거법으로 역행렬을 구해보자.

일단 역행렬을 구할 놈을 적고 그 옆에 단위 행렬을 적어준다.

방법은 위의 가우스소거법으로 해를 구하는 것도 똑같다.

다만 행들의 자리는 변경하면 안된다는게 포인트이다.

1행1열은 1이므로 통과다.

2행1열은 0이 되어야 하는데 1이다.

0으로 만들기 위해서 1행에 -1배를 해서 2행과 더해주자.

-1 -1 -1 0              1행의 -1배

  1  2  0  1              2행

                            두 개를 더하면

 0  1  -1  1             이다. 새롭게 만들어진 놈을 2행에 적자.

 이다. 2행2열은 1이다. 통과하고 이제 거꾸로 위로 작업해야 한다.

1행2열의 값이 0이 되어야 한다. 근데 1이다. 0으로 만들기 위해서

2행에 -1배값을 1행과 더하면 된다.

1  1  1  0     1행

0 -1  1 -1    2행에 -1배

                 두개를 더하면

1 0  2  -1    이 된다. 새롭게 구한 값을 1행에 집어낳자.

앞에 있는 놈은 단위행렬이고 뒤에 있는 놈이 역행렬이 된다.