집합 이야기

1. 집합과 원소

(1)집합(set) = 주어진 조건에 의하여 그 대상을 분명히 알 수 있는 놈들의 모임.

보통 알파벳 대문자 A, B, C,····로 나타낸다.

(2)원소(element) = 집합을 이루고 있는 한 놈 한 놈

보통 알파벳 소문자 a, b, c,····으로 나타낸다.

ⓐ a는 집합 A의 원소이다. = a가 집합 A에 속한다. = 기호로로 나타낸다.

ⓑ b는 집합 A의 원소가 아니다. = b가 집합 A에 속하지 않는다. = 기호로 로 나타낸다.

위에서 보면 알 수 있듯이 원소와 집합과의 관계는 삼지창, 포크와 같이 나타내야 함을 알아야 한다.

집합 A를 잘생긴 사람들의 모임이라고 해보자.

이게 집합이 될까?

집합은 주어진 조건에 의해 그 대상을 분명히 알 수 있는 놈들의 모임이라고 했다.

잘생긴 사람을 모아보자.

어떤 사람이 생각하는 잘생긴 사람들은 장동건, 정우성, 조인성, 강동원이라고 말을 했다면 또 어떤 사람은 장동건, 정우성, 유해진, 황정민이라고 말했다고 하자. 위처럼 개개인에 취향에 따라 자기가 생각하는 대상이 다 다르다.

이건 집합이 될 수가 없다는 소리다.

예제1) 다음 중 집합인 것은?

1. 착한 학생들의 모임

2. 혈액형이 A형인 사람들의 모임

3. 공부를 잘하는 학생들의 모임

4. 야구를 좋아하는 사람들의 모임

4. 키가 큰 사람의 모임

정답은 2번임을 알 수 있다.

1번은 착한 학생은 내가 생각하는 착한 사람은 어쩌구 저쩌구 인데 니가 생각하는 착한 사람은 다를 수가 있다.

2번 혈액형이 A형인 사람들은 나는 A형이 누구 누구라고 말하고 니도 역시 A형은 누구 누구라고 말한다.

즉 누가 이야기를 해도 확실히 그 대상이 분명하므로 집합이 된다.

3, 4, 5번 역시 내가 생각하는 기준과 니가 생각하는 기준이 다르므로 집합이 될 수 없다.

즉 집합이 되냐 안되냐의 구분은 나 혼자만 판단하지 말고 다른 사람의 입장에서 다른 사람은 어떻게 생각할까라고 돌려서 생각해 버리면

금방 알 수 있다.

2. 집합의 표현 방법

(1)원소나열법 = 집합에 속하는 모든 원소를 {  }안에 모두 적는 방법

집합 A의 원소를 1부터 10까지의 자연수라고 하면

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 이렇게 하나 하나씩 다 적는 방법을 원소 나열법이라고 한다.

A={10,9,8,7,6,5,4,3,2,1} 역시 집합 A가 된다.

즉 집합의 원소의 순서는 아무 상관이 없다. 그리고 누가봐도 알 수 있는 일정한 규칙이 있다면 생략을 해서 적어도 된다.

A={1,2,3,····8,9,10}

또한 중복된 원소는 한번만 적으면 된다.

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,10,10}={1,2,3,····8,9,10}

(2)조건제시법 = 집합의 원소가 되는 조건만 적는 방법

원소의 개수가 적다면 원소나열법으로 적는것이 더 편할수도 있지만 원소의 수가 너무 많다면 조건제시법으로 간단히 원소가 어떤놈이 있는지 알 수 있다.

{1, 3, 5, 7, 9}라는 집합이 있다고 하자.

이 집합을 조건제시법으로 나타내보자.

집합을 보고 조건을 찾아야 한다.

10보다 작은 홀수가 된다.

즉 {1, 3, 5, 7, 9} = {x l  x는 10보다 작은 홀수}가 조건제시법이 되는 것이다.

조건제시법은 꼭 하나만 되라는 법은 없다.

{1, 3, 5, 7, 9} = {x l  1<=x<=9, 단 x는 홀수}로도 표현이 가능하다.

조건제시법에서 주의해야 될 것이 아래와 같다.

작대기 기준으로 앞의 놈이 집합의 원소를 나타내는 기준이 된다는 것이다.

그리고 작대기 뒤의 놈은 집합 원소의 조건을 적으면 된다.

요컨대 작대기(바) 앞뒤에는 똑같은 문자가 와야 된다.

추가로 작대기 앞에 하나의 문자만 오라는 법은 없다.

작대기 앞에 a,b라는 두개의 문자가 왔을 때 작대기 뒤에도 a,b가 어떤 조건을 가지는지 적어줘야 한다.

(3)벤 다이어그램 = 집합과 원소를 간단 원이나 사각형 등의 도형으로 그려서 나타내는 방법

3. 집합의 구분

(1)유한집합(finite set, 有限集合) = 원소의 갯수가 셀수 있는 만큼 있는 집합

(2)무한집합(infinite set, 無限集合) = 원소의 갯수가 몇 개인지 죽을 때까지 못 세는 집합

(3)공집합(empty set, 空集合) = 원소 갯수가 한 개도 없는 집합.

기호로로 나타내고, 공집합은 원소의 갯수가 몇개지? 하나도 없으므로 0개 따라서 공집합은 유한집합이다.

예제를 살펴보자.

{2,4,6,8,10}은 원소갯수가 5개이다. 셀 수 있으므로 유한집합이다.

{1,2,3,4,5,·················}은 원소의 갯수를 죽을 때까지 셀 수 있나? 당연히 죽고나서도 다 못센다. 따라서 이 놈은 무한집합이다.

{x l x는 1이하의 소수}는 1보다 작은 소수가 있나? 소수는 1과 자기 자신 외의 양의 약수가 없는 1보다 큰 자연수이므로 조건을 만족하는 x의 값이 하나도 없네. 따라서 이 놈은 공집합이 된다.

{1,2,3,4,5,·················}와 달리 {1,2,3,·················,10000000000000000000000000000}은 죽기전에 원소를 다 적을 수도 있고 셀 수도 있으므로 유한집합이다.

그렇다면 죽을때까지 못 세고 죽어서도 다 못 세는 무한집합의 원소의 갯수가 몇 개 인지 알아낸다는 것은 큰 의미가 있을까나?

허공에 삽집하듯이 아무 의미없는 일이다.

따라서 우리는 유한집합의 원소의 갯수만 관심을 가지면 될 것이다.

공집합은 원소가 하나도 없으므로 이다.

집합 A={1,2,3,4,5}일 때 n(A)=5

집합 ★={★ ㅣ ★은 6의 약수} = {1,2,3,6} 이므로 n(★)=4가 된다.

4. 집합 사이의 포함 관계

집합 A={1,3,5}

집합 B={1,2,3,4,5}라고 할 때 벤 다이어그램을 그리면 위와 같이 그릴 수 있다.

그림을 보면 집합A의 모든 원소들은 집합 B라는 놈에 포함이 된다.

쏙 들어간다. 이때 집합 A는 집합 B에 속한다고 한다.

간단히 기호로 로 나타낸다.

(1) 집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속할 때, 집합 A는 집합 B의 부분집합이라고 한다. 기호로 나타낸다.

(2)서로 같은 집합 = 두 집합 A,B에 대해서일 때 두 집합 A, B는 서로 같다라고 한다.

(3)진부분집합 = 부분집합 중에서 진짜인 부분집합, 즉 자기 자신을 뺀 부분집합을 진 부분집합이라고 한다.

집합A={1,2,3}일때 부분집합은

(4)부분집합의 개수

그리고 추가로 틀리면 안 되는 것이 위에서 보았듯이 원소와 집합 사이의 관계는 삼지창, 포크 모양을 사용해야 되고

집합과 집합 사이의 관계는 U자 옆으로 누은 기호를 사용해야 된다.

아래 예제는 반드시 유의해야 된다.

괄호가 있다고 해서 반드시 집합이 되는 것은 아니다라는 것을 꼭 주의하자.

집합 A의 원소는 바깥에 있는 괄호를 빼야되므로 원소는 0 , 1 {2}, {1,2}가 된다.

1번 공집합은 모든 집합은 부분집합이므로 딩동댕

2번 가운데 기호를 보자. 삼지창이다. 삼지창은 원소와 집합사이의 관계를 나타낸다.

즉 {2}가 집합 A의 원소냐라고 묻는 소리다. {2}는 집합 A의 원소가 맞다. 딩동댕

3번 기호가 집합대 집합의 기호다. 즉 집합 {0 ,1}이 집합 A의 부분집합이냐라고 묻는 문제다.

A의 부분집합중에 {0 ,1}이 있으므로 딩동댕

4번 기호를 보면 역시 집합대 집합 기호다. {1,2}가 집합 A의 부분집합이냐라고 묻는다.

땡 틀렸다. {1,2}는 집합 A의 부분집합이 아니다. 맞게 되려면 {{1,2}}가 되면 맞는 표현이다.

5번 원소대 집합기호다. {1,2}는 집합 A의 원소가 맞다 딩동댕