복소수 체계와의 이해

수는 어떻게 만들어졌을까?

인류의 역사가 진화함에 서로의 물건을 교환하고 거래 등을 하면서 가장 먼저 만들어진 수는 물건의 개수를 세기 위한 자연수이다. 자연수에 음수를 포함해 정수의 개념이 되고, 정수의 나눗셈에서 유리수가 생겼다. 유리수와 무리수를 합해 실수 개념으로 확장되었고, 세상에는 실제로 존재하지 않지만, 상상의 수 혹은 가상의 수라고 해서 허수를 만들어 실수와 허수의 합을 복소수라고 말한다.

복소수의 체계

1. 자연수(Natural Number)
내츄럴 넘버의 뜻처럼 우리가 실생활에서 가장 많이 사용하는 자연스러운 수이다. 자연수는 양의정수(1, 2, 3, 4, 5.....)또는 음이 아닌 정수(0 ,1, 2, 3, 4, 5.........)를 뜻한다. 보통 전자는 수론에서, 후자는 집합론에서 사용된다. 집합에서는 내츄럴 넘버의 앞글자를 따서 자연수의 집합을 N이라 나타낸다.

2. 0(Zero)
수론으로 치면 양의 정수도 아니고 음의 정수도 아닌 녀석이다. 나누기 할때 0으로 나누지 못한다. 만약 0으로 나누기가 된다면 세상의 모든 수는 엉터리가 되어버린다. 예컨대 0 = 3 × 0 ＝ 33 × 0은 맞는 수식이다. 0의 양변에 어떤 수를 곱해도 0이니깐 그럼 양변을 0으로 나누면 3 × 0 에서 0은 약분되어 3이 33 × 0에서도 0이 약분되어 33이 나온다.
즉 3 = 33이 된다. 따라서 0으로 어떤 수를 나누는 것 자체 부터가 모순이다.

3. 음의 정수(Negative Integer)
 -1, -2, -3처럼 0보다 작은 정수를 말한다. 양의 정수에 -1을 곱한 값이다. 음수가 최초로 사용된 곳은 인도이다. 보통 재산과 부채, 이익과 손해, 전진과 후퇴 같은 상반되는 개념의 것을 나타냈다. 수학에서 길이나 속도 등에서는 마이너스값이 존재하지 않는다.

니 키가 얼마냐?는 질문에 제 키는 -180입니다. 지금 자동차 속력이 어떻게 되요?라는 질문에 지금 속력이 -80킬로입니다.라고 하지 않듯이 말이다.

4. 정수(Integer)
음의 정수, 0, 양의 정수를 모두 합한 수집단이다.
Z={...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

5. 유한소수(Finite Decimal)
소수점 아랫자리가 유한개인 수를 유한소수라 한다. 기약분수일 때 분모는 2^m5^n 꼴로 나타난다.
기약분수는 더 이상 약분할 수 없는 분수이다. 4.5, 3.141592, 1.458646872649753469897154444448244444444482568745116888888888874512687453156497854123546871230015874532648462464846484655

6549279731649753 이 수들은 유한소수이다. 즉 소수점 아래가 몇 개인지 죽기 전에는 다 셀 수 있으면 유한소수이다.


6. 순환소수(Recurring Decimal)
소수점 아랫자리가 무한개인 수 중 수가 일정한 규칙을 가진 수를 뜻한다. 예컨대 3.565565565565...는 소수점 아래 수 565가 일정한 규칙으로 계속해서 반복된다. 1.234343434....역시 2를 제외한다고 하더라도 34가 반복되는 규칙이 있다. 이런 수를 순환소수라고 한다. 죽을 때까지 소수점 아래가 몇 자리인지 못 새는 무한소수에 들어야 하지만 이 놈은 분수로 나타낼 수 있다. 분수로 나타낼 수 있는 모든 수는 유리수 범위에 속한다. 따라서 순환소수는 유리수에 속한다.

7. 유리수(Rational Number)
두 정수로 분수를 만들 수 있는 수집단이다. 정수와 유한소수와 순환소수가 포함된다.
먼저 정수를 예를 들어보면 -5=-5/1=-10/2 등으로 0=0/1=0/2 등으로 3=3/1=300/100 등으로 두 정수로 분수를 만들 수 있다.
유한소수 역시 기약분수로 나타내면 분모는 2^m5^n 꼴이 되므로 분수로 나타낼 수 있다.
순환소수 역시 일정한 규칙에 따라 분수로 나타내어진다.
유리수 집합을 Q로 표현한다.
Q={정수 집합}+{유한소수 집합}+{순환소수 집합}

8. 무리수(Irrational Number)
영어 뜻 그대로 일정한 규칙이 없는 수이다. 즉 순환하지 않는 무한소수라 할 수 있다.
소수점 아래 자리가 죽을때까지 몇자리인지 못샌다. 일정한 규칙이 없는 완전 막나가는 수집단이다.

즉 돌리고 돌리고 또 돌리고 해도 도무지 도대체 어떤 규칙이 있는지 찾을 수 없는 수이다. 아무리 머리좋은 아인슈타인, 피타고라스, 유클리드, 빌 게이츠 등도 못 구하는 수이다. 일정한 규칙도 없고 그렇다고 멈추지도 않고 막 나가는 무리수 집단의 대표적인 수가 원주율 파이와 오일러의 수 e일 것이다. 집합에서 무리수 집단을 I로 나타낸다.

9. 실수(Real Number)
리얼 넘버 실제로 세상에 존재하는 수로 유리수와 무리수의 합집합의 집단이다. R로 나타낸다.
R={유리수 집합}+{무리수 집합}

실수들의 점들의 집합으로 직선처럼 보이게 된 수직선

실수는 수직선 위에 모두 다 나타낼 수가 있다. 수직선은 {....-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5........}인 정수 집합과 분수로 나낼수 있는 유리수 집합과 분수로 나타낼 수 없지만 영원히 끝까지 막나가는 무리수 집합(위의 그림에서 빨간색 작대기를 무리수라 생각하면 된다.)의 점들로 이루어져 있다. 확대하고 확대를 죽을 때까지 해도 실수와 실수 사이에는 또 다른 실수가 존재한다. 바꾸어 말하면 실수는 직선 위의 모든 점과 일대일로 대응시킬 수 있다는 말이고 이것을 실수의 연속성이라고 한다.

10. 허수(Imaginary Number)
세상에는 실제로 존재하지 않는 상상의 수 혹은 가상의 수이다. 실수가 사람이라면 허수는 허수아비나 귀신정도면 이해 되려나. 축구선수 이근호가 아닌 근호 즉 루트(root) 안의 수가 0보다 작은 수를 뜻한다. √-2, √-5, √-7 등이 속한다.

허수 단위는 √-1=i를 사용해 표기한다. 즉 √-2=√2i, √-5=√5i,√-7=√7i 형태로 다시 태어난다.

왜 가상의 수일까? 세상에 제곱해서 음수가 되는 수가 있느냐가 답일 것이다. 없다. 그런데 허수는 제곱하면 음수 값이 나온다. 허수는 순허수와 a≠0인 허수의 합집합으로 이루어졌다. 여기서 순허수는 순수한 허수로 실수부분이 없는 즉 a=0인 형태의 수이다. i, 2i, -5i 등으로 생겼고, a≠0인 허수는 1+i, 2-2i, -√2-5i 등으로 나타내어지는 수이다.

11. 복소수(Complex number)
콤플렉스 넘버로 우리가 흔히 자신의 단점을 말할 때 사용하는 컴플렉스와 비슷하게 복잡한 이라는 뜻을 가진 단어다. 한곳에서 종합적으로 다 할 수 있는 곳을 complex center라고 하지 않느냐. 복소수도 복잡한 수이고 수가 종합적으로 다 모여있는 장소이다. 수 체계의 왕이라고 보면 된다. 모든 수가 복소수의 백성이다.
복소수의 생김새는 a+bi이다. 여기서 a, b는 실수여야 한다. 실수 a를 복소수의 실수부분, 실수 b를 복소수의 허수부분이라고 한다. 실수는 허수부분이 0인 복소수 즉 b가 0인 복소수라고 할 수 있다.