부분적분법 계산법

2012/10/13 - [수학/수학공식] - 도표적분법으로 적분 빨리하는 방법

위의 적분 빨리하는 방법을 알기전에 기본적인 부분적분의 방법은 알고나서

도표적분법을 알았으면 한다.

기본적으로 알고 있을듯 곱의 미분은

아래처럼 앞에 놈 미분 뒤에 놈 그대로 + 앞에 놈 그대로 뒤에 놈 미분이다.

여기서

이 놈을 좌변으로 넘기고 양변에 integral을 넣어주면

와 같이 부분적분의 공식이 완성된다.

좀 더 줄이면

와 같이 적을 수 있다. 여기서

이다.

여기서 어떤 놈을 u로 어떤 놈을 dv로 잡는지에 따라서 풀이가 쉬워질 수도 있고 어려워 질 수도 있다. 이건 아래에서 설명하고 일단 예를 들어보자.

예컨대

xcos(x)의 적분

e^xcosx의 적분

이 놈은 두번 작업을 해야 한다.

우변의 인테그랄만을 다시 적분하면

 두식을 같이 적으면

그리고 적분상수 C를 빼먹지 말고 적어주면 된다.

부분적분을 할 때 어떤 놈을 u와 dv로 넣을 것인지에 따라서 완전 막노동이 될 수도 있고 누워서 떡먹기가 될 수 있다.
일반적으로 부분적분을 유용하게 하는 LIATE 방법을 따르면 노가다하는 일이 줄어든다.
아래의 순서대로 u에 대입하고 남은 놈을 dv에 대입하면 된다.

    L: 로그 함수 (Logarithmic) = ln x, log_b x 등
    I: 역 삼각함수 (Inverse trigonometric) = arctan x, arcsec x 등
    A: 대수적 함수 (Algebraic) = x², 3x⁵⁰  등
    T: 삼각 함수 (Trigonometric) = sin x, tan x 등
    E: 지수 함수 (Exponential)  = e^x, 19^x 

위의 LIATE 방법을 참고하여 하나 더 해보고 말자.

lnx를 해보자.

보자 보자. 그러면

처럼 lnx는 밑이 자연상수 e인 로그이다.

로그함수이므로 lnx 이 놈을 u로 잡아야 쌩 노가다를 안할 수 있다.

마지막으로 요약정리

끝으로 부분적분법과 치환적분법을 간단히 비교하면

부분적분법은

좀더 줄여서

치환적분법은

이다.

특수한 형태에서는

로 치환해야지만 삽질을 덜 할 수 있다.

^{참고 위키백과 = http://goo.gl/Z1hyr}

                    ^{= http://goo.gl/JRhrx}