부분분수 뽀개기

부분분수분해는

분수로 된 식을 분모나 분자의 차수를 낮추어서 계산 과정에서 노가다하는 경우를 줄이기 위해서 많이 사용된다.

주로 복잡한 분수식을 간편히 나누어서 어려운 계산을 좀 더 쉽게 한다거나, 역라플라스변환, 적분하기 힘든 분수함수라든가, 무한급수의 일반항 등을 구할 때 부분분수로 변환해서 사용한다.

그럼 간단한 공식을 보자.

이 공식은 굳이 설명하지 않아도 거의 아는 공식이라고 생각한다.

괄호안의 두 분수를 통분하면 괄호안의 분자는 B-A가 되므로 괄호 밖의 1/(B-A)과 죽어버린다.

그럼 이 놈처럼 분모가 3개의 곱 일때는

이 공식도 쉬워 그냥 바로 보고 외워버려도 되지만 간단히 적어보면

B를 일단 생각하지 않고 A와 C 2개만 부분분수로 바꾼 후에 B를 다시 괄호 안으로 넣어주면 끝이다.

보통 두 공식은 B-A나 C-A가 간단할 때 유용하다고 할 수 있다.

혹시 잊어버린다고 해도 위의 방법처럼 유도하는 과정만 익혔다면 언제든지 공식없이도 사용가능 할 것이다.

그렇다면 분자가 위처럼 숫자가 아닌 일차식이 들어있을 때를 살펴보자.

예컨대

이 놈을 부분분수를 이용해 식을 간단히 할려면 먼저 분모를 인수분해하자.

인수분해가 되었다면 위의 공식 유도 과정처럼 하면 된다.

그럼 좌변과 우변의 분자가 같아야 하므로

A와 B를 계산하면 5/4,-1/4가 된다.

여기서 주의 할 점은

예컨대