절대값 계산하기

위의 그림과 같이 양수인 +10과 음수인 -100 두 숫자가 있다.

기준이 되는 원점 0으로 부터 각 두점이 어디에 위치해 있다고 전달을 하면 될까?

-100은 원점에서 왼쪽으로 100만큼, +10은 원점으로부터 오른쪽으로 10만큼 떨어진 곳에 각각 위치해 있다고 전달하면 된다.

그럼 더 나아가서 앞에 '부호를 제외하고' 남아있는 숫자만 보자.

즉, 10과 100을 비교해보면 당연히 100>10이므로 -100이 +10보다 원점에서 훨씬 먼 곳에 있음을 알 수 있다.

이와같은 원점으로부터 어떤 놈이 대응하는 점까지의 거리를 어떤놈의 절대값이라고 하며,  l 어떤놈 l 과 같이 표현한다.

거리라는 개념이 중요한데, 부산에서 서울까지 거리가 얼먀냐? 우리집에서 학교까지 거리가 얼마냐?

네 거리는 마이너스 500Km와 마이너스 1km입니다라고 하지않는다.

네 거리가 마이너스 몇 Km 되는 걸로 알고 있습니다라고 말하면 미친 놈 소리를 듣는다.

즉 결코 절대로 네버 거리는 음의 값이 될 수가 없다.

절대값 역시 원점에서 어떤놈까지의 거리이므로 항상 항상 항상 양수의 값만을 가진다.

그럼 절대값이 항상 양의 값만을 취한다면

+10의 절대값인 l +10 ㅣ=10이되고, -100의 절대값은 양의 값이 되야하므로 그냥 앞에 마이너스를 없애버리면 되겠네라고 생각해도 좋다.

위와 같이 실제 수로 나타나면 (-)부호를 없애버리면 되지만 문자로 된 경우는 헤깔릴 수 있으니 (-)부호를 앞에 붙인다고 생각하자.

즉 -100의 절대값은 l -100 ㅣ = -(-100) = +100 = 100과 같이 마이너스를 하나 더 붙인다고 생각하자.

<For example>

a>0일때 l  a  l 는 어떻게 될까?

a가 0보다 큰 양수래. 절대값안에 있는 놈이 양수면 절대값은 그대로 사망한다.

따라서 l  a  l = a 가된다.

그럼 b<0일때 l  b  l 는 어떻게 될까?

b가 0보다 작네 그럼 음수네 절대값안에 있는 놈이 음수면 절대값은 마이너스 하나를 주고 사망하니깐

l  b  l = - b가되는 것이다.

문제에서 b는 음수라고 했으니 음수에 (-)를 붙힌 -b는 양수이다.

절대로 절대로 문자앞에 마이너스가 붙어 있다고 해서 그 문자가 음수라고 생각하지 말자.

위에서 본 절대값을 일반화한다면 아래와 같다.

즉 절대값안의 값이 양의 값이면 그대로, 절대값안의 값이 음의값이면 마이너스 하나 달고 절대값은 사망한다.

<For example>

l a -1 l = 2 일때 a의 값을 구하여라.

(sol) 절대값( a -1)의 값은 2이다. 절대값의 값은 절대값을 없애버리면 항상 양수라고 했다. 우변의 2는 양수이다.

이프 만약에 문제가 l a -1 l = - 2라면 문제가 틀린 것이다.

절대로 절대값을 벗기면 그 값은 음수가 아니라 양의 값이 되어야 한다.

그럼 문제를 풀어보자.

우리는 절대값안에 있는 ( a -1)가 양수인지 음수인지 알수 있는 단서가 문제에서 제공되질 않았다.

이럴땐 절대값안이 양수일때와 음수일때로 구분해서 계산해야 된다.

먼저 a -1값이 양수라고 하면 즉 a -1>0이면 l a -1 l =  a -1이 된다.

따라서 a -1 =2 이므로 a=3

또한 a-1이 음수라고 가정하면 l a -1 l =  -(a -1)와 같이 절대값안의 값이 음수이므로 절대값은 마이너스를 하나 주고 사망한다.

-(a -1) = 2 이므로

따라서 a =-1이된다.

정리하면

a -1>0이면 a=3이고 a -1<0이면 a=-1이 되므로 l a -1 l = 2 를 만족하는 a의 값은 -1 또는 3이다.

<For example>

(sol1) 위의 개념대로 한번 풀고 임의의 값을 넣어서 5초안에 풀어보겠다.

먼저 a가 음수라고한다.

그럼 l a l = -a가 된다.

문제를 다시 적으면 l  a - l a l  l = l  a - -a  l = l  2a  l 가 된다.

l  2a  l 는 마찬가지로 a가 음수이므로 2a값 역시 음수 따라서 절대값 안의 값은 음수이다.

l  2a  l = -2a가 된다.

(sol2) 조건을 만족하는 임의의 값을 넣어서 바로 계산해보자.

a가 음수라는 조건이 있다.

음수 아무 놈이라 생각해보자.

나는 음수인 -100을 a라고 생각하겠다.

그럼 문제에 집어넣자.

ㅣ-100 - ㅣ -100 ㅣㅣ이 문제를 풀면 된다.

ㅣ-100 - ㅣ -100 ㅣㅣ = ㅣ-100 - - (-100)ㅣ = ㅣ-100 - 100ㅣ= ㅣ-200ㅣ= 200이다.

a=-100이라고 가정했으므로 200= -2 * (-100) = -2a가 된다.

<For example>

(sol)정석대로 풀면 절대값이 두개 이므로 두 구간으로 나누어서 계산해야 되지만

조건을 만족하는 값을 대입시키면 5초짜리 점수 드세요라는 문제이다.

a가 1과 4사이의 값이므로 아무값이나 생각해보자.

계산쉽게 2를 하던지 3을 선택하던지 2를 선택해보자.

a=2라고 가정하고 문제 풀면

ㅣa -1 ㅣ + ㅣa -3ㅣ= ㅣ2 -1 ㅣ + ㅣ2 -3ㅣ= ㅣ1 ㅣ + ㅣ-1ㅣ= 1 + - (-1) = 1 - (-1) = 2

이런 절대값에도 성질이 있다.

임의의 실수 a, b에 대하여

을 만족한다.

2번 절대값의 값은 루트 제곱의 값과 같다.

중요한 개념인데 루트 밖의 위에는 2라는 놈이 원래는 있다.

근데 생략하기로 약속하고 사실 루트 밖의 2는 안 적을 뿐이지 2는 항상 존재한다.

루트 밖에 숨은 2와 루트와 루트안의 제곱인 2가 절대값과 같은 존재이다.

2012/10/13 - [수학/수학공식] - 루트(근호) 풀이

그리고 6,7번은 자주 사용하는 성질이다.

절대값이 어떤놈보다 작거나 같으면 어떤놈 사이에 찡긴다.

반대로 절대값이 어떤놈보다 크거나 같다면 작은놈보다 작고 큰놈보다 크게된다.

6번만 정리해보면

위의 그림과 같이 절대값이 어떤놈보다 작거나같다면 혹은 작다면 어떤놈의 반경안에 포위되어 갇혀버리게 된다.