평균값이 왜 이리 틀리지 이상하네?

산술평균

산술평균(Arithmetic mean, 算術平均, 算术平均数)은 우리가 일상적으로 가능 널리 사용하는 평균으로 주어진 수의 합을 수의 개수로 나눈 평균이다.

예컨대 어제 술값으로 6만원, 오늘 또 술값으로 4만원 사용했다면 어제 오늘 나의 지출내역은

가 된다. 즉 어제오늘 하루에 5만원씩 사용한 셈이다.

기하평균

홍길동이 살고 있는 지역은 인구 1만명이 거주하는 물좋고 공기 맑은 바다가 보이는 동네이다. 공기가 맑고 주변 환경이 좋다는 입소문을 타면서 1년 후에 인구가 2배인 2만명으로 늘어났다. 그러다 재개발된다는 소문이 돌자 2만명의 8배인 16만명의 인구가 사는 곳이 되었다고 하자. 불과 1만명이던 지역 인구가 1년 후에 2배인 2만명으로, 또 1년 후는 8배인 16만명으로 늘어났다면 과연 2년동안 1년에 평균 몇 배가 늘어난 것이 되는가?

그럼 보자.

1년에 2배 늘어나고, 또 1년에 8배 증가했으니 평균은 로 계산해 1년에 5배씩 인구가 증가했네 계산하면 끝일까?

다시 보자.

1년에 5배씩 증가를 했으니깐 처음엔 1만명이 사는 마을이 1년후는 5배인 5만명이 살고 있는 마을이 되는 것이고, 또 1년후에는 5배인 25만명이 거주하는 마을이 된다.

그런데 실제 거주하는 인구는 16만명인데 왜 25만명이 되어버렸을까?

평균 계산을 잘못한 것도 아닌데 왜 그렇지?

일반적으로 실생활에서 산술평균이 자주 사용되므로 우리는 산술평균을 그냥 평균이라고 생각해 버린다.

인구의 증가율, 가격의 증가율 도형의 닮음비 등처럼 늘어난 배수의 평균을 구할때는 산술평균이 아닌 기하평균을 사용해야 한다.

두 수 a, b의 기하평균은가 된다.

즉 두수의 곱에 제곱근을 입히면 된다.

일반화하면 기하 평균(Geometric mean, 幾何平均, 几何平均数)은 n개의 양의값을 모두 곱한 것의 n제곱근이 된다.

그럼 위의 문제는

가 된다.

즉 1년에 평균 4배씩 인구가 증가한 셈이 된다.

1만명 1년사이에 4배인 4만명이 되고, 1년후 4만명의 4배인 16만명이 되었다가 맞는 계산이다.

조화평균

배수의 평균처럼 산술평균을 사용하면 안 되는 경우가 또 있다.

조화 평균(Harmonic mean, 調和平均, 调和平均数)은 평균 속력이나 저항의 합성에서 자주 사용되는 평균인데 속도의 평균을 구하는 문제로 살펴보자.

갑돌이는 여름휴가를 맞아 서울에서 부산으로 여행을 갑니다.

서울에서 대구까지는 평균시속 300km/h인 KTX를 타고 이동을 하였고, 대구에서 부산까지는 고속버스를 이용했다고 한다.

서울에서 부산까지 평균속도가 150km/h가 나왔다면 대구에서 부산간 고속버스의 평균속도는 얼마가 될까?

간단히 서울에서 부산까지 평균속도가 150km/h가 나왔으니 서울대구간은 300km/h이고 대구부산간 고속버스의 평균속도를 x라고 한다면

이네.

그럼 x를 구해볼까라고 계산을 했을데 x=0가 나온다. 다시 말하면 대구부산간 고속버스는 움직이지 않았다는 소리가 된다.

위와 같이 속도는 조화평균이라는 놈으로 계산을 해주어야 한다.

두 수 a, b의 조화평균은 이다.

일반화하면 조화 평균(Harmonic mean, 調和平均, 调和平均数)은 숫자들의 역수의 산술평균을 구한 후에 다시 역수를 취한 평균이다.

서울부산간 평균속도가 150km/h이고 서울대구간 평균속도가 300km/h 대구부산간 평균속도를 x km/h라고 두면

를 만족하는 x의 값이 대구부산간 고속버스의 평균속도가 된다.

x=100km/h이다.

요컨대

두 양수 x1, x2에 대해

를 산술평균, 를 기하평균,를 조화평균이라고 한다.

그리고 조화평균은 기하평균의 제곱에 산술평균을 나눈 값과 같음을 알 수 있다.

추가로 산술, 기하, 조화평균의 대소관계를 알아보면

일때,이다. (단 등호는 x=y일 때만 성립한다.)

For example x>0, y>0 일 때 의 최소겂을 구하여라.

(sol) 먼저 식을 전개하면

가 된다.

숫자 5는 이미 나온 숫자이므로 최소값에 영향을 주지 않는 놈이다.

따라서 우리는의 최소값을 구한후에 숫자5를 더해주면 된다.

가 나온다.

따라서 최소값은 9가 된다.