헤론의 공식 증명

삼각형의 넓이를 구하는 공식은 많이 있다.

삼각형의 넓이를 구하려고 할 때 3가지 조건만 있다면 우리는 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

삼각형에는 세변과 세각이 존재한다.

즉 6개의 값들이 존재한다.

이 때 우리는 6개의 값 중 아래의 세 값만 알면 삼각형의 넓이를 구할 수 있다.

세 변의 길이를 알 때
두 변과 끼인각의 크기를 알 때
한 변의 길이와 양 끝각의 크기를 알 때

삼각형의 넓이 구하는 공식 중에 헤론의 공식(Heron's formula)을 살펴보자.

헤론의 공식(Heron's formula)은 삼각형의 넓이를 세 변의 길이로 구하는 공식이다.
삼각형 세 변의 길이를 각 각 a, b, c라고 할 때 세변의 합 a+b+c의 반을 즉 삼각형 둘레의 반(semiperimeter)을 s라고 한다면
삼각형의 넓이는 가 된다.

그럼 헤론의 공식을 증명해보자.

△ ABC의 넓이를 T라고 하고, B에서 수선을 내렸다고 생각하자.

수선의 길이를 h라고 두면 h는 b를 밑변으로 하는△ ABC의 높이가 된다.

b를 밑변으로 하는△ ABC의 넚이 T는

가 된다.

에서 가 된다.

코사인 제 2법칙을 사용하여 아래와 같이 인수분해 정리하면 헤론의 공식이 나온다.

를 삼각형 둘레의 반이라고 정의라면

삼각형의 넓이는 로 나온다.

참고로 브라마굽타 공식(Brahmagupta's formula)도 알아주자.

원에 내접하는 사각형의 네 변의 길이를 알고 있을 때 그 사각형의 넓이를 쉽게 구하는 공식이다.

원에 내접하는 사각형의 각각의 선분의 길이를 a, b, c, d라고 할 때,

사각형의 넓이 S는

이다.  단,

여기서 이프 만약에 d값을 0이라 생각하면 이때는 원에 내접하는 삼각형의 넓이 공식이 나오고, 이것은 헤론의 공식과 같다.

아래의 좌표평면에서 세 점을 알때 넓이를 구하는 공식이다.

각각의 점에서 길이를 구하여 헤론의 공식에 대입하는 것 보다 더 빨리 문제의 정답을 구할 수 있다.

2012/09/20 - [수학/수학공식] - 세 점을 알 때 삼각형의 넓이 10초만에 구하기