로그의 정의와 성질 및 상용로그 계산

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

숫자 2를 몇 번 곱하면 16이 될까?

기본적으로 쉽게 2^x=16=2⁴ 에서 x는 4임을 알 수 있다.

그렇다면 2^x=15을 만족하는 X의 값은 어떻게 구할까?

2^x=15 만족하는 x의 값을 쉽게 찾을 수 없을 것이다.
왜냐하면 유리수 범위 내에서 등식을 만족하는 x의 값이 없기 때문이다.

결국 x라는 놈의 값은 무리수여서 그 값을 쉽게 나타내기도 힘들다.

이때 편리하게 사용되는 놈이 로그(log)인데 로그를 사용하면 X=어짜고저짜고 모양으로 만들 수 있다.

즉 2^x=15에서 X=log₂15 나타낼 수 있다.

 

 

로그의 정의

 

X는 a를 밑으로 하는 b의 로그라고 한다.

기호 log는 로가리즘(logarithm = logos(논리) + arithmos(수))의 약자이고, 로그라고 읽으면 된다.

밑인 a는 1이 아닌 양수이다. 양수를 아무리 찌지고 볶아도 결과값은 항상 양수가 된다.

따라서 결과값인 진수 b도 양수로 정의 된다.

왜냐하면 1¹⁰⁰=1^{100000000000000000000000000}에서 볼수 있듯이 1은 1번을 곱하나 백번을 곱하나 천번을 곱하나 몇 억을 곱하나 1이기 때문이다. 그리고 0 또는 음수가 된다면 아무 의미가 없기 때문이다.

로그로 바꿀 때 밑에 있는 놈은 밑으로 간다는 것만 알면 쉽다.

 

예제 몇개를 보자.

 

 

 

 

 

↑ 수정합니다. x=+-루트3입니다. 로그에서 음수 값은 없으므로 x는 루트3이 정답입니다.

 

 

 

 

로그의 성질

 

 

로그의 성질이다.

로그의 밑을 자유자재로 가지고 놀아야 두 수의 대소관계 등 로그와 관련된 여러 문제를 해결할 수 있다.

위의 성질 중 마지막 놈을 보자.

으로 a와N으로 구성된 로그에 b라는 새로운 숫자가 넣어 만들었다.

 

여기서 b=N이라면

이 된다.

즉 두 수의 밑과 진수를 바꾸어 버리면 그 수의 역수가 되어서 분모로 이동하게 된다.

 

 

밑변환을 이용하면 아래와 같이 여러개의 로그의 성질이 성립함도 알 수 있다.

 

예제를 보면 아래와 같다.

 

2번 성질만 증명해 보자.

 

위와 같이 두 수의 자리만 바꾸어 주면 된다.

 

다시 정리해 보면 아래와 같다.

 

 

 

 

 

 

우리는 일상생활에서 10진법을 사용한다.

따라서 밑이 10인 로그를 사용하면 그만큼 편리한다.

상용로그의 상용은 항상 사용한다는 뜻으로 그만큼 우리 생활에 알게 모르게 사용되고 있다.

소리의 세기나 지진의 강도 등 매우 큰 값 또는 작은 값을 사람들이 쉽게 이해할 수 있는 수로 나타낼 때 밑이 10인 상용로그를 사용한다.

 

 

상용로그

임의의 양수 N에 대하여 밑을 10으로 하는 로그를 상용로그라고 한다.

밑에 아무것도 없다면 밑인 10이 생략되었다고 생각하면 된다.

즉 밑이 10인 로그는 밑을 생략해도 된다고 약속을 한 것이다.

따라서 밑에 아무 숫자도 없다고 놀라지 말고 10이 생략된 것이라고 생각하면 된다.

즉 아래와 같이 밑이 없다고 해도 10을 넣어서 계산해 주면 된다.

 

 

상용로그의 계산

수학교과서나 참고서 기타 문제집 등의 제일 끝장을 보면 상용로그표가 항상 있다.

아래의 상용로그표를 살펴보면 진수에 해당되는 숫자부분이

라는 것을 알 것이다.

즉

와 같이 진수 부분이 1보다크거나 같고 10보다 작을 때의 값들만 표로 주어져 있다는 말이다.

그럼

처럼 진수가 범위안에 없는 상용로그는 어떤식으로 계산을 할까?

일반적으로 진수 N을 아래와 같이 변형하면 된다.

예컨대

로 변형을 시켜 계산한 후에 상용로그표를 참조하면 된다.

와 같이 계산하면 된다.

앞에 있는 정수 즉 3.0086에서 3을 지표라고 하고, 소수부분 0.0086을 가수라고 한다.

log0.0994의 지표는 -2이고, 가수는 0.9974라는 뜻이 된다.

간혹 -1.0026이므로 지표가 -1이고 가수가 0.0026이 아니냐고 하는데

-1.0026 = -1 -0.0026 = -1 -1 +1 -0.0026 = -2 + 0.9974이 된다.

즉 가수는 0과1사이의 숫자이다.

일반화하면 아래와 같다.

즉 n이 지표가 되고, loga가 가수가 된다.

 

 

상용로그표를 이용해 값을 찾아보자.

log5.569를 구하면 아래 그림의 왼쪽의 수 부분에서 5.5를 찾는다.

그 줄에서 오른쪽으로 7번째에 위치한 6을 찾는다.

그럼 0.7451을 찾을 것이다.

여기에 마지막 0.009의 9부분은 오른쪽 제일 끝의 9밑에 숫자 7을 찾는다.

즉 log5.569=0.74517의 값이다.

 

상용로그의 지표와 가수를 이용해 몇 자리 숫자인지 확인이 가능하다.

 

위의 예제를 다시 보면

에서

1020을 보면 1보다 큰 수이므로 정수부분이 지표+1의 자리인 수라고 했다.

지표가 3이므로 3+1=4 즉 4자리 숫자라는 뜻이다. 1020는 4자리수가 맞다.

즉 지표가 ★이면 그 수의 자릿수는 ★+1이 된다는 뜻과 같다.

반대로 1보다 작은 0.0994는 소수점 2번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나온다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그리고 자연로그도 존재한다.