1. 3L와 5L의 빈 물통이 2개가 있다. 빈 물통 2개를 이용해서 4L의 물을 정확하게 만들어라.
2. 3L와 7L의 두 빈 물통을 이용해서 5L의 물을 정확하게 만들어라.
일반적으로 물용량맞추기 문제는 주어진 물통들의 옹량의 최대공약수의 배수가 되는 값을 구하라는 문제이다.
위의 문제를 예를 들어보자.
3, 5리터를 가지고 4리터의 물을 만들라.
숫자 3과 5의 최대공약수는 GCD(3, 5) = 1이다.
즉 최대공약수가 1이므로 최대공약수의 배수의 값들은 모두다 만들 수 있다는 말이다.
다시 말해 주어진 수가 서로소(최대공약수가 1)관계일 때
즉 1, 2, 3, 4, 5........... 등의 물의 양을 정확히 만들 수 있다.
3x+5y=1라고 하면
3리터 물통에 물을 두번 가득 채우고 5리터 물통을 비우면 1리터의 물이 된다.
즉 x=2, y=-1가 된다.
쉽게 1리터의 물을 만들 수 있으므로 2리터, 3리터의 물도 쉽게 만들 수 있다.
가령 2리터와 6리터 물통을 가지고 3리터의 물의 양을 맞출 수 있을까?
정답은 노노노노노이다.
숫자 2과 6의 최대공약수는 GCD(2, 6) = 2가 된다.
즉 두 수인 최대공약수 2의 배수만큼의 숫자들만(2, 4, 6, 8, 10, ..............) 만들 수 있다.
3리터는 2의 배수에 해당되지 않으므로 2, 6리터의 물통으로 3리터의 물의 양은 맞출 수가 없다.
두 수 즉 두개의 물통뿐만 아니라 3개의 물통 역시 가능하다.
3, 5, 8리터의 물통을 가지고 1리터의 물을 담아보자.
먼저 이 문제가 해결되는지 세 수의 최대공약수를 보면 GCD(3, 5, 10) = 1이므로 1은 당연히 만들 수 있다.
3x+5y+8z= 1을 만족하는 정수인 x, y, z의 값만 찾아 주면 된다.
x=1, y=-2, z=1이 보인다.
즉 3, 8리터에 물을 한번 채우고 5리터 물통을 두번 비우면 1이 남는다.
2017/02/12 - [수학/수학이야기] - 완전한 수가 존재할까?
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