완전한 수가 존재할까?

완전수(perfect number, 完全數)는 자기 자신을 제외한 양의 약수를 모두 다 더했을때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다.
예컨대 6의 약수인 1, 2, 3, 6에서 자기 자신인 6을 제외한 약수를 더해보면 1+2+3=6, 즉 원래의 수 6이된다.
따라서 6은 완전수이다.

약수 중에서 자기 자신을 제외한 약수를 진약수(proper divisor)라고 부른다. 바꾸어 말하면 임의의 어떤 수의  모든 진약수의 합이 원래의 수와 같다면 그 수를 완전수라고 할 수 있다.
그렇다면 진약수의 수가 원래의 수보다 작을 때 부족수(결핍수), 원래의 수보다 클 때는 과잉수라고 한다.
10의 진약수는 1, 2, 5이다. 1+2+5=8, 즉 원래의 수 10보다 진약수의 합 8은 작으므로 결핍수가 된다.
12의 진약수는 1, 2, 3, 4, 6이다. 12의 진약수의 합은 16으로 원래의 수 12보다 크므로 12는 과잉수가 된다.

    
고대 그리스 사람들은 처음 4개의 완전수 6, 28, 496, 8128을 발견했다.
6=1+2+3
28=1+2+4+7+14
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064

위의 것만 본다면 n번째 완전수는 n자리의 수라는 것과, 완전수의 끝자리수가 6과8이 번갈아 나타난다는 것이다.
그런데 5번째 완전수 33550336와 6번째 완전수 8589869056를 알고난 후 위의 추측은 틀렸다는 것을 알수 있다.

5번째 완전수는 5자리가 아닌 8자리 수이고 끝자리가 6이고, 6번째 완전수는 6자리 숫자가 아닌 10자리수인 것처럼 완전수는 자리수가 급격히 커짐을 알 수 있다.

울프팜알파 완전수

유클리드 기하학에서는

이 소수이면

는 완전수라는 것을 증명했다.

우리는 2의 거듭제곱에서 1을 뺀 수, 즉 이 소수일 때 이를 메르센 소수라 부른다.

이때 n은 소수이지만 은 항상 소수가 아닐 수도 있다.

이후 오일러는 짝수인 모든 완전수는 의 형태임을 증명했다.

따라서 짝수 완전수와 메르센 소수는 일대일 대응 관계가 성립한다.

n = 2 일 때 :   2^1 * (2^2 − 1) = 6
n = 3 일 때 :   2^2 * (2^3 − 1) = 28
n = 5 일 때 :   2^4 * (2^5 − 1) = 496
n = 7 일 때 :   2^6 * (2^7 − 1) = 8128

가장 최근에 발견된 메르센 소수는 2015년 9월에 인데, 22,338,618자리의 숫자이다.

이렇게 메르센 소수로 찾을 수 있는 짝수인 완전수는 삼각수가 되고, 연속적인 홀수의 세제곱의 합이 된다.

홀수로 된 완전수의 존재는 아직까지 알려져 있지 않았고, 완전수가 무한히 많은 것도 아직까지는 찾아내지 못했다.