분모의 유리화는 왜 할까?

분모의 유리화(Rationalisation)는 분모에 근호 즉 루트가 있을 때 분모와 분자에 같은 수를 곱해서 분모에 있는 루트를 없애서 유리수로 만드는 것이다.

예컨대 아래를 한번 보자.

어떤 수에 1을 곱해도 그 결과는 항상 어떤 수이다.

분모에 루트만 하나가 있다면 똑같은 값의 루트를 분모와 분자에 곱해주면 유리화가 된다.

분모가 루트2이므로 루트2를 분모와 분자에 각각 곱해야 된다.(1을 곱한다는 생각으로)

루트2를 제곱하게 되면 루트는 날라가버리고 2만 남는다.

즉 분모에 루트가 없이 숫자만 남았다.

그럼 아래처럼 분모가 숫자와 루트의 합이나 루트와 루트의 합으로 생긴경우도 있다.

위의 예처럼 분모에 2 더하기 루트3을 곱해주면 안됀다.

곱해주면 루트가 없어지질 않기에

우리는 합차공식을 이용해서 분모의 루트를 죽여야 한다.

즉 두 수의 합차의 곱은 제곱차와 같음을 이용해야 된다.

분모의 켤레(conjugate)수를 곱하여 루트를 죽이면 된다.

켤레수는 루트앞의 부호가 반대가 되는 수이다.

2 + 루트3의 켤레수는 루트앞의 부호 더하기를 빼기로 바꾼 수

즉 2 -루트3이 된다.

그렇다면 이제는 분모가 아래와 같이 3개로 되어진 경우는 어떻게 할까?

루트와 루트끼리 괄호로 묶지말고 분리시켜서 계산을 해야된다.

아래처럼 계산을 하면 루트가 2개에서 1개로 되어진다.

다시한번 더 계산을 해주어서 분모의 루트를 없애주면 된다.

완전 계산하는것도 노가다다.

근데 왜 유리화를 하나 안하나 똑같은 값인데 분모에 루트가 있는 걸 싫어할까?

를 생각해보자.

우리는라는 값을 알고 있다고 해도 의 값이 대략 얼마인지 알수 있을까?

그런데 유리화를 한 다음 다시 생각해보면

처럼 값을 쉽게 알 수 있다.

유리화를 하는 이유는 위처럼 무리수들의 값의 크기를 예측하고, 수직선 위에 어느 곳에 위치하냐에 따라 실수의 대소 관계를 좀 더 쉽게 이해하도록 하기 위한 것이다.

2012/08/24 - [수학/수학이야기] - 복소수 체계와의 이해