무슨 게임이든지 이긴다는 것은 재미있는 일이다.
상대가 모르는 반드시 이기는 전략이 있다면 어떤 게임을 해도 자신이 있을 것이다.
반드시 이길 수 있는 게임을 우리는 님게임(NIM GAME)이라고 부른다.
님게임의 대표적인 술자리 게임 중 하나인 베스킨라빈스 31을 예를 들어보자.
1부터 시작해 한사람이 연속된 숫자를 1~3개까지 말할 수 있고, 마지막 수인 31을 말하는 사람이 지는 게임이다.
참고로 두 명이 게임을 할 경우만 무조건 이길 수 있는 전략이다.
베스킨라빈스 게임에서 승리하기 위해서는 내가 숫자 30을 부르면 된다.
마찬가지로 26을 부르면 이긴다.
왜냐하면 내가 26을 부르면 상대는 부를 수 있는 경우의 수는
27, 28, 29, 30
27, 28, 29, 30
27, 28, 29, 30 와 같이 3가지가 생긴다.
상대가 27을 부르면 나는 빨간색 28, 29, 30을 부르면 되고, 상대가 27, 28을 부르면 나는 29, 30을 부르면 된다.
그럼 마찬가지 방법으로 22를 불러야 승리하게 된다.
30을 4로 나누면 나머지가 2가 나온다.
따라서 승리하기 위해서는 2를 부르던지 4의배수+2의 수(6, 10, 14, 18, 22, 26, 30)를 부르면 무조건 승리하게 되어 있다.
내가 먼저 공격을 한다면 무조건 1, 2를 불러야 한다.
만약 상대가 먼저 공격을 해 1, 2, 3를 불렀다면 다음 승리의 숫자인 6을 내가 먼저 부르면 된다.
그럼 나는 4, 5, 6을 부르면 된다는 말이다.
요컨대 베스킨라빈스 게임에서 승리하기 위해서는 2를 부르던지 4의배수+2의 숫자를 부르면 된다.
만약 인원이 2명이 아닌 경우라면 어떻게 될까? 위에서 말했을 듯 이 전략은 2명일 때 필승 전략이지만, 인원이 4명이라고 가정했을 때 나를 포함한 다른 한 명도 이 전략을 알고 있고 하나 뛰어 자리 잡는 다고 했을 때 전략의 수인 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30을 그대로 부르게 되면 그 사이에 앉은 나머지 두 명 중 한 명이 반드시 지게된다.
추가로 꼭 31이 아닌 다른 숫자도 마찬가지이다.
31이 아닌 21을 예를 들어보자.
20을 부르면 내가 이기므로 20을 4로 나누면 나머지는 0이다.
따라서 이 게임은 4의 배수를 먼저 부르면 이긴다.
반대로 31을 부르는 사람이 지는 것이 아닌 31부터 시작해 1을 부르는 사람이 지는 게임 역시 마찬가지이다.
내가 2를 부르면 이기므로 베스키라빈스31 필승 전략 숫자와 똑같음을 알 수 있다.
3명이상이 게임을 할 경우는 필승 전략이 없다는 걸 명심하자.
알고 있을지 모르지만 베스킨 라빈스 31은 매장에 존재하는 아이스크림의 종류가 31가지가 아니란 사실이다.
31은 한달 31일을 뜻하는데 매일 매일 새로운 아이스크림 맛을 즐길 수 있다는 뜻이다.
안전과 불안전 게임도 잠시 알아보자.
아래 그림과 같이 한 테이블에 3개의 탑이 있다고 할 때
1. 하나의 탑에서 가지고 오고 싶은 만큼의 돌을 맘대로 가져올 수 있다.
2. 마지막 남은 돌을 잡는 사람이 승리한다.
이 게임에서 이기기 위해서는 어떤 전략이 필요할까?
위의 그림을 보면 {5,6,7}개가 각각 배치되어 있다.
필승 전략은 각각의 돌의 수를 2진법으로 바꾼 후에 각 자리의 수끼리 합이 2가 되면 된다.
이런 상태를 안전하다라고 보고, 안전 상태로만 만들어 주면 반드시 승리하는 게임이다.
2012/11/29 - [수학/수학이야기] - 이진법과 십진법
위의 그림의 남은 돌은 순서가 상관없으므로 {2,1,3} = {1,2,3}이 된다.
{1,2,3}을 살펴보자.
|
숫자 |
이진법의 수 |
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
0 |
|
3 |
|
|
1 |
1 |
|
각 자리수의 합 |
2 |
2 |
||
위 처럼 각 자리수의 합은 모두 다 2가 되었다.
안전한 상태이다. 이와같이 안전한 상태로 만들어 가면 무조건 이길 수 있다.
|
숫자 |
이진법의 수 |
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
1 |
0 |
|
3 |
|
|
1 |
1 |
|
4 |
|
1 |
0 |
0 |
|
5 |
|
1 |
0 |
1 |
|
6 |
|
1 |
1 |
0 |
|
7 |
|
1 |
1 |
1 |
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
10 |
1 |
0 |
1 |
0 |
대표적인 안전 상태인 경우는 아래와 같다.
{1,2,3} {1,4,5} {1,6,7} {1,8,9} {2,4,6} {2,5,7} {2,8,10} {3,4,7} {3,5,6} {3,6,7} 등이 있다.
아래의 플래시게임을 통해 간단히 원숭이를 이겨보자.
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