이자와 대출 등차수열과 등비수열

우리는 은행에 저축해 놓은 돈을 가리켜 원금이라고 한다.

원금에 얼마간의 돈이 더 붙는 것을 이자라고 하며, 이자에 붙는 비율을 백분율로 나타낸 값이 이자율이다.

이자의 종류는 크게 단리와 복리 두 가지로 나누는데 수학의 등차수열과 등비수열과도 관계가 깊다.

단리 이자

연이율 6%를 지급하는 통장에 1000만원을 저축하면 1년에 6%의 이자가 붙는다.

%는 백분율을 나타내는 기호이다.

%를 숫자를 바꾸면 1/100 =0.01과 동일하다.

즉 1년 후에 통장에 들어 있는 돈은

=원금 + 원금에 대한 이자

= 1000만원 + 1000만원 * 6%

= 100만원 + 1000만원 * 6 * 0.01

= 1000만원 + 1000만원 * 0.06

= 1000만원 + 60만원 * 0.06

= 1060만원

그럼 이 돈을 몇년간 놔두면 얼마나 될까?

단리를 적용했을 때 늘어나는 돈, 즉 이자를 계산하면 아래와 같다.

단리 이자 = P * r * t

P(Premium)은 원금, r(rate)는 이자율, t(time)은 횃수이다.

단리로 연이율 6%의 통장에 1000만원을 10년간 없는 돈이라 생각하고 나두면

단리 이자 = 1000만원 * 0.06 * 10 = 600만원의 돈이 생긴다.

여기에 원금을 더하면 1600만원이 된다.

단리는 수학의 등차수열로 나타낼 수 있다.

등차수열(arithmetic sequence, 等差數列, 等差数列)은 연속하는 두 개의 값의 차이가 모두 일정한 수열을 말한다.
예컨대 1, 3, 5, 7, 9, ...은 등차수열이다.
이 때 연속되는 임의의 두 값 3과 1의 차는 2, 9와 7의 차도 2임을 알 수 잇다.
이때 연속되는 임의의 두개의 값의 공통된 차를 공차(common difference)라고 하고, 수열의 제일 처음 시작하는 항 1을 첫째항이라고 한다.

첫째항을 , 공차를라고 하면 등차수열의 일반항은 아래와 같다.

위의 등차수열에서 6번째 올 놈은 누가봐도 11임을 알 수 있다.

공식으로 6번째 들어갈 놈을 계산해보면

임을 알 수 있다.

복리 이자

연이율 6%의 통장에 1000만원을 저축해 놓으면 1년 뒤에 60만원이라는 이자가 생겼다.

이 돈을 모두 다 찾아다가 다시 1년간 저축을 한다고 생각해보자.

원금 1060만원에 대한 1년 뒤 이자는 1060 * 0.06* *1 = 63.6만원이다.

당연히 1000만원에서 1060만원을 저축했기에 원금이 늘어나서 이자도 첫해에 받은 것보다 늘어나

두 번째 해에 받을 돈은 원금과 이자가 1060만원 + 63.6만원 = 1123.6만원이다.

이번에도 이돈을 찾아다가 다시 1년간 저축을 한다고 생각해보자.

그럼 3년째 이자는 1123.6만원 * 0.06 = 약 67.4만원이 된다.

이렇게 계속 10년간 하다보면 원금과 이자의 합계가 약 1790만원이 된다.

10년후에 원금과 이자의 합계가 단리는 1600만원이고, 복리는 1790만원이다.

같은 돈을 같은 기간동안 저축을 했는데 1790 - 1600 = 190만원이라는 돈의 차이가 났다.

해마다 원금에 이자를 더해서 원금을 늘려준 덕에 원금에만 이자가 붙는 것이 아닌 이자에도 이자가 붙었기 때문이다.

복리이자 = [(1 + r)^(t) - 1] * P

P(Premium)은 원금, r(rate)는 이자율, t(time)은 횃수이다.

연이율 6%로 10년간 1000만원을 저축한 경우 이자를 계산해보자.

= [(1 + 6%)^(10년) - 1] * 1000만원

= [(1 + 0.06)^(10년) - 1] * 1000만원

= [(1.06)^(10년) - 1] * 1000만원

= [(1.06)^(10년) - 1] * 1000만원

= [1.79 - 1] * 1000만원

= [0.79] * 1000만원

= 790만원

복리는 수학의 등비수열와 관련이 있다.

등비수열(geometric sequence 等比數列)은 각각의 항이 그 앞 항과 일정한 비를 이루는 수열을 뜻한다.
그 일정한 비를 공비(common ratio)라고 한다.
1, 2, 4, 8, 16 ....은 첫항이 1이고,공비가 2인 등비수열이다.

즉 1, 1*2, 2*2, 4*2, 8*2 .......이다.

예제의 등비수열 일반항은이 된다.

그럼 위의 복리금의 12년차에 받을 돈을 계산해보자.

제일 처음 1000만원을 넣으므로 첫항은 1000이된다.

둘째항은 1년이 지난후에 받는 금액이 되고, 세째항은 2년후에 받을 금액이되고, 네모항은 (네모 - 1)후에 받을 금액이 된다.

즉 12년후에 받을 금액은 13번째 항이라는 소리가 되고, 계산하면 약 2012만원이 된다.

72 나누기 이자율을 계산하면 이자가 원금을 넘는 기간을 알 수 있다.

위의 예제는 6% 였으므로 72/6을 하면 12년이 나온다.

즉 12년 뒤에 이자가 원금보다 큰 금액이 나옴을 알 수 있다.

실제로 은행에서는 연단위뿐만아니라 일, 월 단위로도 이자를 계산하기 때문에 위보다 더 복잡한 공식들이 존재한다.

이 덕분에 우리는 하루만 맡겨도 이자를 받을 수 있는셈이 된다.

하지만 달리 말하면 대출이나 카드 금액을 하루만 늦게 갚드라도 거기에 붙는 이자가 장난 아니라는 뜻도 된다.

대출이자

홍길동은 10%라는 어마어마한 이자를 받는 캐피탈에서 500만원을 빌렸다고 하자.

1년 뒤에 원금 500만원과 이자를 갚을 예정이라면 홍길동은 전부 얼마의 돈을 갚아야 할까?

월 이율이 10%이고 1년이면 12달이니깐 10% * 12 = 120%의 이자가 나올 것이고, 여기에 원금 100%까지 더하면 총 같아야 할 돈이

원금의 220%인 1100만원일까? 아니다.

대출이자는 언제나 복리로 계산된다.

첫 달에 110%였던 대출금은 다음 달에는 110% * 110%가 되고, 그 다음 달에는 110% * 110% *110%가 된다.

1년이면 12개월이고 1년 뒤에 갚을 돈은 (110%)^12 = 1.1^12 = 약 3.14 즉 314%가 된다.

이자에 이자가 붙어서 빚이 빚을 만드는 꼴이 된다.

즉 500만원을 빌렸을 때 1년 후 갚아야 할 금액은 1100만원이 아닌 1570만원이 된다.

이자 부담을 줄이려면 최소한 이자는 매달 매달 갚아나가는 것이 좋다.

한달 이자를 계산하면 500만원 * 0.1 = 50만원이다. 매달 50만원씩 갚아도 이 금액은 이자이므로 원금 500만원은 계속해서 빚으로 남아 있다. 이자보다 많이 갚을 수 있어야만 원금이 줄어든다는 이야기가 된다.

첫 달을 이자 50만원 + 원금 10만원 = 총 60만원을 갚았다면 원금 500만원 중에 10만원이 줄어든다.

처음에는 고작 10만원의 작은 금액이지만 다음달에 내야 할 이자 역시 함계 줄어들고, 시간이 가면 갈수록 먼저 갚은 10만원이 아주 큰 것임을 알 수 있다.

7개월을 보면 7개월동안 상환한 금액은 60만원 * 7개월 = 420만원으로 이자만 냈을 때보다 70만원을 더 냈을 뿐인데 이 돈으로 인해서 남은 대출금액은 500만원이 아니라 405만원이 된다.

바꾸어 나가면 미리 70만원을 갚았기 때문에 95만원을 번 셈이 된다.

위와 같이 매달 꼬박꼬박 60만원을 갚아 갈 경우 19개월이 되면 모든 빚을 다 갚을 수가 있다.

그리고 마지막 달인 19개월차에 갚아야 할 돈은 60만원이 아니라 48만원으로 줄어든다.

그럼 19개월동안 지불한 금액을 합해보자.

60만원 * 18개월  +  48만원 = 1128만원이다.

이와 같이 대출금액을 갚기 위해서는 어떻게든 매달 조금이라도 더 내야만 빨리 빚을 없앨 수가 있다.

만약 중도상환금을 이자 50만원 + 원금 20만원 = 총 70만원으로 지불하면 14개월로 줄어들고 총 지불한 금액은 921만원으로 대출금이 확 줄어든 것을 알 수 있다.

이자 50만원 + 원금 50만원 = 총 100만원을 상환하면 8개월에 728만원으로 대출금을 갚을 수 있다.

추가로 연체금이 생기면 이자도 뛰고 연체금에 대한 이자까지 붙으므로 연체금만은 만들지 말아야 한다.

만약 첫달에 대출이자 50만원을 내지 못해 20만원의 연체료가 추가되었다고 해보자.

5개월을 보면 첫 달에 값지 못한 이자 50만원으로 인해서 남은 대출금액이 602만원으로 102만원이라는 빚이 더 생기게 되었다.

1년 후는 700만원, 2년 후는 1127만원, 3년 후는 2467만원으로 시간이 가면 갈 수록 대출금은 더 무한대로 늘어나게 된다.