근의 공식 유도과정

이차방정식을 아래와 같이 두자.

양변은 a로 나눈다

c/a를 우측으로 보내고

양변에 x의 계수 b/a의 반 제곱을 더한다.

x의 계수 b/a의 반 제곱

즉

을 더하는 이유는 좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해서이다.

그리고 식이 변하지 않기 위해서 좌변에 더한 놈을 우변에도

똑같이 더해야 하므로

이 된다.

좌변을 완전제곱으로 고치고 우변은 통분했다.

우리의 목표는 좌변에 혼자 남아 있는 X를 원한다.

그래서 양변에 루트를 입힌 후 

좌변의 절대값을 없애버리면

아래와 같이 두개의 값이 나온다.

좌변에 x혼자가 아닌 b/2a라는 녀석이 있다.

이 녀석을 우변으로 보내버리고 통분하면

이차방정식의 만병통치약인 근의공식이 만들어진다.

그리고

이라고 하면

이면 루트안의 값이 존재하므로 루트 앞의 ± 때문에 근이 두개를 가지게 된다.

          즉, 서로 다른 실근 두개가 존재한다는 소리다.

이면 루트안의 값이 0이므로 ±0은 0이므로 근은 -b/2a 하나를 가진다.

          즉, 똑같은 근 두개 = 중복되는 근 하나, 중근을 가진다는 소리이다.

이면 루트안의 값이 음수가 된다. 세상에 루트안의 값이

          실수범위에서 음수가 되는 수는 없다.

          따라서 실근(=실수범위안에서의 근)이 없다는 소리이다.

3차방정식은 좀 빡시다. 노가다다.

라고 하고

라고 둔다면

세 근은 아래와 같다.