완전수(Perfect number)란?

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고대 피타고라스 학파는 수의 완전성을 결정하는 것은 그 수의 약수들이다라고 생각했다고 한다.

완전수(Perfect number)는 자기 자신을 제외한 양의 약수를 더했을 때 그 합이 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다.

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064
33550336 = 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+ 2048 + 4096 + 8191 + 16382 + 32764 + 65528 + 131056 + 262112 +

                524224 +1048448 + 2096896 + 4193792 + 8387584 + 16775168
8589869056 = 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+ 2048 + 4096 + 8192 + 16384 + 32768 + 65536 + 131071
                   + 262142 + 524284 + 1048568 + 2097136 + 4194272 + 8388544 + 16777088 + 33554176 + 67108352 + 13421670
                   + 268433408 + 536866816 + 1073733632 + 2147467264 + 4294934528

자신을 제외한 약수(진약수)들을 모두 합한 값이 원래의 수보다 큰 경우 초과수 혹은 과잉수라고 하고, 반대로 약수의 합이 원래의 수보다 작은 경우를 불완전수 혹은 부족수라고 한다. 예컨대 12 자신을 제외한 약수는 1, 2, 3, 4, 6이다. 합이 16으로 12보다 크다. 즉 12는 초과수인 셈이다. 반면 10은 자신을 제외한 약수가 1, 2, 5이고 합이 8이므로 불완전수이다. 

그리고 서로의 진약수를 더하면 상대편이 되는 두 수는 친화수라 부른다. 220과 284이 친화수의 좋은 예이다.

220의 진약수 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55.110

284의 진약수 1, 2, 4, 71, 142

220의 진약수 모두 더하면 284가 되고 반대로 284의 진약수를 모두 더하면 220이 된다.

친화수와 유사한 것으로 1과 자기 자신을 제외한 약수의 합이 즉 진약수 - 1이 서로 같은 수를 부부수라 한다.

48과 75이 대표적인 예이다. 

48의 약수 : 1,2,3,4,6,8,12,16,24,48
75의 약수 : 1,3,5,15,25,75

48에서 1과 48을 제외한 약수 2,3,4,6,8,12,16,24의 합은 75이고, 반대로 75는 진약수중 1을 뺀 3,5,15,25의 합은 48이 된다. 

완전수 28을 살펴보자. 약수는 1, 2, 4, 7, 14, 28이고 자기 자신인 28을 제외한 수 1, 2, 4, 7, 14를 더하면 28이 된다.
28은 여성의 생리주기와 비슷하며, 임신기간 280일도 28의 10배이다. 28일은 좋은 날이라 해서 각종 행사가 많이 열렸다.

고대 그리스 사람들은 당시 6,  28, 496, 8128 네 개밖에 찾지 못했고, 이후 유클리드가 에 알맞은 수를 대입해 구할 수 있다는 것을 발견했다고 한다.

n = 2 일 때:   2¹ · (2² − 1) = 6

n = 3 일 때:   2² · (2³ − 1) = 28

n = 5 일 때:   2⁴ · (2⁵ − 1) = 496

n = 7 일 때:   2⁶ · (2⁷ − 1) = 8128

n = 13 일 때:   2¹² · (2¹³ − 1) = 8128

n = 17 일 때:   2¹⁶ · (2¹⁷ − 1) = 8589869056

n = 19 일 때:   2¹⁸ · (2¹⁹ − 1) = 137438691328

n = 31 일 때:   2³⁰ · (2³¹ − 1) = 2305843008139952128

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홀수 완전수의 존재 여부와 짝수 완전수가 무한히 존재하는지 여부는 아직까지도 미해결 문제로 남아있다.