돌고 도는 순환수(cyclic number)

위와 같은 142857이라는 숫자가 적힌 회전판이 있다.

회전판을 신나게 돌리고 12시 방향의 숫자부터 읽어 보자.

가령 714258, 428571도 나올 수 있고, 285714도 나올 수 있다.

자 그럼

처음 숫자인 142857에 2를 곱해보자.

142857×2=285714

285714 어디서 본 수 같은데?

그럼 이번에는 3을 곱해보자.

142857×3=428571

맞다.

6자리 숫자인 142857에 1, 2, 3, 4, 5, 6을 곱해 얻은 답은 숫자판을 돌려서 얻을 수 있는 값들이다.

142857×1=142857
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142

분수 을 소수로 바꾸어 보면 

로 나타낼 수 있다.

142857라는 숫자가 죽을때까지 계산해도 죽고 후손들까지 계속 계산해도 반복해서 나온다.

이렇게 몇자리 숫자가 반복해서 주기적으로 나오는 소수를 순환소수라고 말하고

우리는 순환되는 숫자의 처음과 끝에 점을 찍거나 순환되는 숫자 위에 통째로 줄을 그어 나타내기로 약속을 하고 순환마디라고 부른다.

순환소수 중에 분수 처럼 주기가 분모의 수인 7에서 1이 적은 수가 반드시 존재한다.

이런 성질을 가진 다음 분수는이다.

줄 아래의 숫자를 세어보면 주기가 16자리인 것을 쉽게 알 수 있다.

이런 성질을 가지는 0588235294117647도 142857처럼 회전판의 성질을 가진다.

즉 1부터 16까지의 숫자를 곱셈한 값은 아래처럼 돌리고 돌리고 돌려도 계속 반복된다.

0588235294117647×1=588235294117647
0588235294117647×2=117647058823529
0588235294117647×3=176470588235294
0588235294117647×4=235294117647059
0588235294117647×5=294117647058823
0588235294117647×6=352941176470588

0588235294117647×7=411764705882353

0588235294117647×8=470588235294118

0588235294117647×9=529411764705882

0588235294117647×10=588235294117647

0588235294117647×11=647058823529412

0588235294117647×12=705882352941176

0588235294117647×13=764705882352941

0588235294117647×14=823529411764706

0588235294117647×15=882352941176470

0588235294117647×16=941176470588235

요컨대 1/n을 소수로 나타낼 때 순환마디의 길이가 n-1가 될 때 회전판의 성질을 가지게 되고,

이런 수들을 우리는 회전수 혹은 순환수(cyclic number)라고 부른다.

 

7, 17 다음에 오는 순환수는 무엇일까?

어찌 보면 문제의 답을 구하는 것보다 완전 삽질 노가다가 더 나을 수도 있다.

출처 구글검색 수학노가다 이미지 캡쳐 https://www.google.co.kr/search?q=%EC%88%98%ED%95%99+%EB%85%B8%EA%B0%80%EB%8B%A4&newwindow=1&client=firefox-b&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=0ahUKEwjAz5_LydTVAhUShrwKHfBCCQcQ_AUICigB&biw=1920&bih=950

순환수는  7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419 ...으로 나간다.

1/19 = 0.0526315789473684210로 주기가 19-1인 18
1/23 = 0.04347826086956521739130로 주기가 23-1인 22
1/29 = 0.03448275862068965517241379310로 주기가 28이다.

142857을 보면 볼수록 더 신기하다.
142857×7 = 999999 = 142857+857142
14+28+57=99
142+857=999

2017/08/09 - [수학/수학이야기] - 숫자 9를 4번 사용해서 0~10까지 만들어 보기

2017/08/02 - [수학/수학 문제 풀이] - 두뇌 퀴즈2

2017/02/25 - [수학/수학이야기] - 19×19단을 외우지 않고 알 수 있을까?

2017/02/21 - [수학/수학이야기] - 구구단 없는 곱셈법

2017/02/20 - [수학/수학이야기] - 상대방의 마음을 읽는 수학

2012/10/17 - [수학/수학공식] - 수학의 몇가지 값들(루트, 자연상수 등)

2012/10/02 - [수학/수학공식] - 수학공식 곱셈법칙

2012/08/21 - [수학/수학이야기] - 신기하고 재미있는 수학 마술